СБОРНИК ЗАДАЧ  КУРСА ПО ВЫБОРУ

ДЛЯ 10 КЛАССА

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ».

Автор-составитель: Истелеева З.Т.,

 учитель математики СШ №22 г. Костаная.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

            Данный сборник задач предназначен в качестве пособия к курсу по выбору «Теория вероятностей» для учащихся 10 классов.

            Сборник содержит небольшое количество упражнений по темам: случайные события, комбинаторика, вероятность события и операции над вероятностями.

            Цель этого пособия научить учащихся решать задачи на самые элементарные сведения из теории вероятностей. Содержание некоторых задач не только для усвоения и закрепления материала, но и для размышлений и самостоятельного поиска.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА.

1. Случайные события и операции над ними.
2. Элементы комбинаторики.
3. Вероятность события.
4. Операции над вероятностями.

Случайные события и операции над ними.

1. Какие из следующих событий достоверные:

А – «два попадания при трёх выстрелах»;                                                                                                                                                                  

В – «наугад выбранное трёхзначное число не больше 1000»;

С – «наугад выбранное число, составленное из цифр 1, 2, 3 без

       повторений, меньше 400»?

2. Какие из следующих событий невозможные:

А – «опаздывание ленинградского экспресса в субботние дни»;

В – «появление 17 очков при бросании 3 игральных костей»;

С – «появление слова «мама» при случайном наборе букв а, а, м,

      м»;

D – «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и кратного 9  числа

       при случайном однократном наборе указанных цифр»;

Е – «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и кратного 3 числа

       при произвольном однократном наборе указанных цифр»?

3. Какие из событий являются частью другого события:

 а) А – «попадание в мишень первым выстрелом»;

     В – «попадание в мишень, по меньшей мере, одним из 4 выстрелов»;

     С – «попадание точно в мишень одним из 2 выстрелов»;

D – «попадание в мишень не более чем 5 выстрелами»

б) мишень изображена на рисунке 1:

     А – «попадание в круг»;

     В – «попадание в треугольник»;

     С – «попадание в квадрат»?

                                                                               Рис. 1

4. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом»,

    Событие В – «попадание в мишень вторым выстрелом».

    В чем состоит событие АUВ?

5. Событие А – «ученик учиться без троек»,

    Событие В – «ученик учиться без двоек»,

    Событие С – «ученик не отличник».

    Сформулируйте АUВUС.

6. Событие А – «лотерейный выигрыш 10 000тг.»,

    Событие В – «лотерейный выигрыш 20 000тг»,

    Событие С – «лотерейный выигрыш 30 000тг»,

    Событие D – «лотерейный выигрыш 40 000тг».

    В чем состоит событие АUВUСUD?

7. Событие А – «появление двух гербов при подбрасывании двух монет»,

    Событие В – «появление герба и цифры при подбрасывании двух монет».

    В чем состоит событие АUВ?

8. Событие А₁ – «поражение мишени одним выстрелом»,

    Событие А₂ – «поражение мишени двумя выстрелами»,

    Событие А₃ – «поражение мишени тремя выстрелами»,

    …………………………………………………………......

    Событие А₁₀₀ – «поражение мишени сотней выстрелов».

    В чем состоит событие А₁U А ₂ UА ₃ U…U А₁₀₀?  

9. . Событие А – «появление 6 очков при бросании игральной кости»,

      Событие В – «появление 5 очков при бросании игральной кости»,

      Событие С – «появление 4 очков при бросание игральной кости».

      В чем событие  АUВUС?

10. Событие А – «попадание первым выстрелом»,

      Событие В – «попадание вторым выстрелом».

      В чем состоит событие А     В?

11. . Событие А – «появление нечетного числа очков при бросании

     игральной кости»,

    Событие В – «непоявление 3 очков при бросание игральной кости»,

    Событие С – «непоявление 5 очков при бросании игральной кости».

    В чем состоят события  А   В   С,А   В,А   С,В   С?

Комбинаторика.

12. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, и 5 при

     условии, что ни одна цифра не повторяется?

13. Сколько разных стартовых шестерок можно образовать из числа 10 волейболистов?

14. Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при

     условии, что ни одна цифра не повторяется?

15. В одной арабской сказке речь идет о такой задаче.

     Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух

     ближайших соседей. С целью спрятать награбленное, необходимо выделить 5

     разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы

     между ними не было распрей?

16. В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного

     туза среди розданных карт?

17. Сколько можно составить трёхзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры могут

повторяться?

18. В гастрономе имеются конфеты трех наименований. Конфеты упакованы в коробки

     трёх видов – для каждого наименования своя коробка. Сколькими способами можно

     составить набор из пяти коробок?

19. Сколько автомашин можно обеспечить шестизначными номерами?

20. Сколько пятизначных чисел можно образовать из цифр 0 и 1?

21. Сколькими способами можно отослать 6 писем разным адресатам, если будут

      разносить 3 курьера и заранее известно, какому курьеру какое достанется письмо?

22. Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения

     оценок, если известно, что, так или иначе, все они экзамены сдали?

23. Сколько разных по стоимости браслетов может составить ювелир из набора в 18

     камней, если у него имеются 5 одинаковых по стоимости рубинов, 6 одинаковых по

     стоимости алмазов и 7 одинаковых по стоимости кусков янтаря?

24. У мужа 12 сослуживцев: 5 женщин и 7 мужчин. У жены тоже 12: 7 женщин и 5

мужчин. За семейным столом помещаются 14 человек. Сколько разных компаний из 6

     женщин и 6 мужчин могут  они пригласить при условии участии 6 знакомых мужа и 6

     знакомых  жены?

25. Все участники туристической поездки владеют, по крайней мере, одним иностранным 

      языком. 6 из них владеют английским языком, 6 – немецким,7 – французским,

      4 – английским и немецким, 3 –     немецким и французским, 2 – французским и

     английским. Один турист владеет английским, французским и немецким языками.

     Других туристов в группе нет. Сколько туристов владеет только английским языком,

только французским? Сколько туристов в группе?

26. Отряд из 92 школьников собрался в поход. Из них 47 приготовили бутерброды с  

     колбасой, 38 – с сыром, 42 – с ветчиной, 28 – с колбасой и сыром, 31 – колбасой и

     ветчиной, 26 – с сыром и ветчиной. Взяли с собой бутерброды всех сортов 25

     школьников, а некоторые взяли только по бутылке молока. Сколько было таких,

     которые взяли только молоко?

27. Имеется неограниченное число монет по 10, 15 и 20 к. Сколькими способами можно

     образовать набор из 20 монет?

28. 5 белых шариков, 5 черных и 5 красных надо разложить по 3 ящикам так, чтобы в

     каждом ящике оказалось по 5 шариков. Сколькими способами можно это осуществить.

Вероятность события.

29. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный  мальчик

     перемешал буквы, а потом наугад их собрал.    Какова вероятность того, что он опять

составил слово «книга»?

30. 10 шаров произвольно раскладываются по 4 ящикам. Чему равна вероятность того, что

     в первом ящике окажется 1 шар, во втором – 2,  в третьем – 3 и четвертом – 4 шара?

31. 4 зенитных пулемёта ведут огонь по 3 самолетам. Каждый пулемёт выбирает объект

      обстрела наугад. Какова вероятность того, что все 4 пулемета ведут огонь по одному и         

тому же самолету?

32. Четырем игрокам раздается поровну колода из 32 карт. Определите вероятность того,

     что каждый игрок получит карты только одной масти.

33. На стоянке автомобилей можно поместить 12 машин в один ряд. Однажды оказались

свободны 4 места подряд. Является ли это событием исключительным или столь же

     часто бывают, свободны 4 не соседних места?

34. В ящике 90 стандартных и 10 нестандартных деталей. Какова  вероятность того, что  

     среди 10 наугад вынутых деталей бракованных не окажется?

35. В одной семье 4 сестры по очереди моют посуду. Из каждых 4 разбитых тарелок 3

      разбито младшей сестрой, и потому её называют неуклюжей. Справедливо ли это?

36. Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что все цифры наугад

      набранного номера разные?

Операции над вероятностями.

37. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего надо выбрать по одному слову

      каждого рода. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?

38. Имеются 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать

     из них одну перчатку на левую руку и одну – на правую  руку так, чтобы эти перчатки   

     были различных размеров?

39. Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учебника геометрии и 7

     экземпляров учебника тригонометрии надо выбрать по одному экземпляру каждого

учебника. Сколькими способами можно это сделать?

40. В ящике 10 белых и 8 красных шариков. Одновременно наугад вынимают 2 шарика.

      Какова вероятность того, что они разных цветов?

41. В ящике 7 белых и 9 черных шариков. Наугад вынимают один шарик, рассматривают 

      его на свету и кладут обратно в ящик. Опять наугад вынимают один шарик. Какова

      вероятность того, что оба шарика белые?

42. Вероятность, что при нажатии стартера мотор машины заработает,

      равна примерно   . Чему равна вероятность, что при повторном

      нажатие стартера включают мотор?

43. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой

     вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в первом месте, близка к 1/3, во

     втором – 1/2, в третьем – 1/4.Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза, а вытащил

     только 1 рыбу. Какова вероятность того, что он рыбачил в первом из излюбленных 

     мест?

44. Путешественник может купить билет в одной из трёх касс железнодорожного вокзала.

      Вероятность того, что он направился к  первой кассе, примерно равна 1/2, ко второй –

     1/3, к третьей – 1/6.  Вероятности того, что билетов уже нет в кассах, примерно такие: в

     первой кассе – 1/5, во второй – 1/6, в третьей – 1/8. Путешественник  обратился в одну

     из касс и получил билет. Определите вероятность того, что он направился к первой

     кассе?

45. В одном из ящиков 10 белых и 6 черных шариков, во втором – 7 белых и 9 черных. 

      Произвольно выбирают ящик и из него наугад вынимают шарик. Он белый. Чему

      равна вероятность того, что и второй шарик, наугад вынутый из этого же ящика,

      окажется белым?

46. При взрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и

     мелкие, причем число крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно

     0,1; 0,3;  0,6 общего числа осколков. При падании в броню крупный осколок пробивает

     её с  вероятностью около 0,9, средний  - с вероятностью, близкой к 0,2,      и мелкий – с

     вероятностью, близкой к 0,05. В броню попал один осколок  и пробил её. Найдите

     вероятности того, что эта пробоина причинена: крупным, средним и мелким осколком.

47. Группе студентов для прохождения производственной практики выделено 30 мест: 15

     – в Туле, 8 – во Владимире, 7 – в Калуге. Какова вероятность того, что студент и

     студентка, которые в скором времени собираются справить свадьбу, будут посланы для

     прохождения практики  в один и тот же город, если декан ничего не знает об их

     семейных делах?

48. Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же самолету. Вероятность

      попадания выстрелом из первого орудия примерно равна 0,2, из второго – 0,6. Первым

      залпом в самолет попали только из одного орудия. Какова вероятность того, что

      промахнулся расчет первого орудия?

49. Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут

     пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то  вероятность выхода туриста из

     леса в течение часа составляет около 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2;

     если по четвертой – 0,1; если по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист

     пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

50. Какова вероятность того, что при n бросаниях игральной кости хотя бы один раз

      появится шестерка? Хотя бы два раза пятерка?

Ответы:

1.В и С

2. D

3. а) АСВD

    б) АВD

4. «Попадание двумя выстрелами»

5. «Хорошист»

6. «Не больше 40 000 тг»

7. «Появление хотя бы одного герба при подбрасывании двух монет»

8. «Мишень поражена не больше чем 100 выстрелами»

9. «Появилось не меньше 4 очков»

10. «Попадание первыми двумя выстрелами»

11. АВС – «появление 1 очка»;

      АВ – « появление либо 1, либо 5 очков»;

      АС– « появление либо 1, либо 3 очков»;

      ВС– « появление либо 1, либо 2, либо 4, либо 6 очков»;

12. 120

13. 210

14. 60

15. 36

16. 1512

17. 125

18. 21

19. 10⁶

20. 16

21. 729

22. 81

23. 30

24. 267148

25. 1;3;11

26. 25

27. 231

28. 231

29. 1/20

30. 12600

31. 1/27

32. 1/С₃₂

33. 1/55

34. 0,33

35. Неуклюжая

36. 0,3024

37. 1080

38. 30

39. 147

40. 80/153

41. 49/256

42. 5/36

43. 256/715

44. 288/593

45. 11/40

46. 0,5; 0,333; 0,167

47. 0,354

48. 6/7

49. 6/13

50. 1-(5/6)²

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика, М, Наука, 1969г.
2. Кордемский Б.А. Математика изучая случайности, М, Просвещение, 1980г.
3. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике теория вероятностей, М, Просвещение, 1990г.